Solução:
Admita que uma Bateria de fem E esteja ligada entre
os pontos X e Y da malha abaixo, com o polo positivo em X e o negativo em Y.
Assim toda a corrente proveniente da bateria (não desenhada) entra pelo ponto
X, circula pelo circuito e retorna pelo ponto Y para a bateria (figura 1). Percebendo
o trecho XBCY e observando o sentido da corrente, é fácil perceber que VX
> VB>VC>VY .
figura 1
Os pontos X e Y funcionam, respectivamente, como a fonte e o dreno (sorvedouro) de toda a corrente elétrica.
O circuito apresenta uma simetria apenas em relação ao eixo que contém os nós X e Y. Assim, terão o mesmo potencial elétrico os pares de pontos que estiverem sobre um mesma linha horizontal e forem simétricos em relação ao eixo de simetria, como os pares de pontos (A,A), ( B,B), (C,C) e (D,D) mostrados na figura 1. A simetria também permite concluir que as quatro correntes i1 são iguais entre si, assim como as duas correntes i2 e as duas correntes i3.
A não existência de uma simetria radial em torno do ponto X, por exemplo, não permite assegurar que as correntes i1, i3 e i4 são iguais entre si. Muitas pessoas incorrem nesse sofisma.
A falta de simetria radial em torno dos pontos X ou Y dificulta
a análise do circuito. Para aumentar a sua simetria, usaremos o artifício de
considerar que a bateria E trata-se de duas baterias de fem E/2 em série entre
si, percorridas pela mesma corrente i de antes (figura 2). O ponto p
que encontra-se entre as duas baterias será aterrado ao infinito, onde todos os
pontos estão a um mesmo potencial elétrico. Assim, o circuito da figura 2
equivale ao da figura 3.
Para analisar o circuito da figura 3, utilizemos o princípio da superposição,
ligando uma fontes de cada vez, mantendo a outra desligada (figuras 4 e 5) e, em
seguida, superpondo os resultados para obter o efeito resultante. Em outras
palavras, o circuito da figura 3 pode ser admitido como a superposição dos
circuitos das figuras 4 e 5.
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figura 2 |
figura 3 |
No circuito da figura 4, finalmente obtivemos a simetria radial em torno do ponto X que há tanto desejávamos. Nesse circuito, toda a corrente i proveniente da bateria se divide em quatro partes iguais ( i /4) que se espalham divergindo até o infinito e retornando pelo ponto p, entrando pelo polo negativo da bateria novamente. Assim, agora o ponto X funciona como a fonte da corrente do circuito e o dreno (sorvedouro) está no infinito.
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| figura 4 | figura 5 |
Analogamente, no circuito da figura 5, para que uma
corrente i retorne ao polo negativo da bateria, quatro parcelas
iguais ( i / 4) , provenientes do infinito convergem para o dreno Y
(sorvedouro) e são levadas pela bateria novamente até o infinito (fonte).
Superpondo as correntes encontradas nas figuras 4 e 5, obtemos novamente o
circuito da figura 6 (figura 6 ou 7) , no qual só é possível determinar
efetivamente a corrente ( i /4 + i /4) que vai do nó X ao nó Y
através do circuito externo.
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| figura 6 | figura 7 |
As demais correntes da figura 7 ainda permanecem indeterminadas, por se tratarem de superposição de duas componentes das quais apenas uma delas é conhecida, quer na figura 4, quer na figura 5.
Assim, se a bateria de fem E é percorrida por uma corrente i,
ao ser conectada aos pontos X e Y entre os quais a resistência
equivalente vale Reqxy , então:
E = Reqxy . i (1)
Se cada célula quadrada é formada por quatro resistores de resistência R, então entre os pontos X e Y existe uma resistência R sendo percorrida por uma corrente ( i /4 + i / 4) quando submetida a uma tensão E, então:
E = R.( i /4 + i / 4) (2)
Das relações 1 e 2, vem:
E = Reqxy . i = R.( i /4 + i / 4) então Req = R / 2
Solução dada pelo prof de Física
Renato Brito de Fortaleza, engenheiro eletrônico ITA - 97.
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